有限单元法基础介绍

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  有限单元法基础介绍 南京农业大学工学院机械工程系 问题的引出 ? 问题一: 上图所示为一个悬臂梁,其中长度L=2000mm,高 度H=100mm,宽度B=50mm,在力P=1000N作用 下,求该梁A点的挠度。 已知:材料弹性模量E=2.0×1011Pa,泊松比为0.3。 ? ? 解答: ? PL3 BH 3 f ? ? I? 根据材料力学公式, B 为矩形截面的惯性矩,代入 3EI ,其中 , 12 已知条件,计算结果为: f B ? ?3.2 ? 问题: 2019/1/13 南京农业大学工学院机械工程系 有限元单元法简介 ? Definition ? 有限单元法(FEM)是20世纪50年代以来随着计算机的广 泛应用而发展起来的一种现代数值解法。该方法首先应 用在连续力学领域——飞机结构静、动态特性分析中。 随后很快就广泛应用于求解传导、电磁场、流体力学等 连续性问题。 有限元分析是利用数学近似分析方法对真实物理系统 (几何、载荷工况)进行模拟,利用简单而又相互作用 的元素,即单元,用有限数量的未知量去逼近无限未知 量的真实系统。 历史典故 ? 结构分析的有限元方法是在二十世纪五十年代到二十世纪六十年代由一 批学术界和工业界的研究者创立的。 ? 有限元分析理论现在已成为悬索桥和蒸汽锅炉进行手算评核的基础。 2019/1/13 南京农业大学工学院机械工程系 有限单元法力学基础 ? 各力学学科分支的关系 非变形体(刚体) 2019/1/13 变形体 南京农业大学工学院机械工程系 有限单元法几种典型的分析对象 双向拉索悬索桥 发动机有限元模型 齿轮接触有限元分析 2019/1/13 汽车碰撞实验模拟(福特) 南京农业大学工学院机械工程系 有限元单元法基本思想 ? Definition 有限单元法的思想是将物体(连续体)离散成有限个 按一定方式相互联结在一起的单元组合,来模拟或逼 近原来的物体,从而将一个连续的无限自由度问题简 化为离散的有限自由度问题求解的一种数值分析法。 物体被离散后,通过对其中各个单元进行单元分析, 然后再进行整体分析,最终得到整个物体的分析结果。 2019/1/13 南京农业大学工学院机械工程系 有限单元法的思路及技术路线 思路 ? 以力学为基础,分析任意变形体的受力情况,运用数值近 似分析方法,以计算机为工具进行分析计算,以获得该结 构所有的力学信息,并使得该方法能够普及、简单、高效、 方便,一般工程技术人员熟练掌握后就可以使用。 技术路线 ? ? ? ? 标准化(研究力学理论:任意复杂问题=标准化分解,单 元建模有限种标准单元类型) 规范化(前处理:CAD几何、力学建模、求解、后处理显示) 计算机程序化 (标准程序、模块) 应用的规模化、普及性(可求解大型计算问题108-1010DOF) 南京农业大学工学院机械工程系 2019/1/13 物理系统举例 物理系统 几何体 载荷 结构 热 电磁 2019/1/13 南京农业大学工学院机械工程系 有限元模型 ? Definition 有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。 线 南京农业大学工学院机械工程系 有限元模型 有限元单元模型中几个重要概念 ? 单元 ? 网格划分中每一个小的块体 单元 单元 ? 节点 ? 确定单元形状、单元之间相互联 结的点 节 点 ? 节点力 ? 单元上节点处的结构内力 节点力 ? 载荷 作用在单元节点上的外力 (集中力、分布力) ? 载荷 ? 约束 ? 限制某些节点的某些自由度 ? ? ? 弹性模量(杨式模量)E 泊松比(横向变形系数)μ 密度 约束 2019/1/13 南京农业大学工学院机械工程系 单元的自由度(DOFs) 自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。 UY ROTY 参数 结构 热 电 流体 磁 自由度 位移 温度 电位 压力 磁通 ROTZ UZ UX ROTX 结构 DOFs 2019/1/13 南京农业大学工学院机械工程系 节点和单元 载荷、约束和力等信息是通过单元之间的公共节点传递的。 2 nodes . . 2019/1/13 . A . . B . . . . A 1 node . . B . . . 分离但节点重叠的单元 A和B之间无法进行信息传递 (需进行节点合并处理) 具有公共节点的单元 之间存在信息传递 南京农业大学工学院机械工程系 节点和单元 (续) 节点自由度是随连接该节点 单元类型 变化的。 J J 三维杆单元 (铰接) I UX, UY, UZ I K 三维梁单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ 三维四边形壳单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ L 二维或轴对称实体单元 UX, UY I P J O N I L K J P O M L I K J 三维实体结构单元 UX, UY, UZ M L I 三维实体热单元 N K J TEMP 2019/1/13 南京农业大学工学院机械工程系 物体变形及受力情况的描述 ? 基本变量 基本方程 ? ? ? μ (位移) ε σ σ =E ε E 弹性模量 (应变) (应力) ? 力的平衡方程 几何方程 物理方程 即: 三大方面 三大方程 ? 求解方法 ? ? ? ? 经典解析 半解析 传统数值解法 现代数值解法(计算机硬件、规范化、标准化、规模化) 2019/1/13 南京农业大学工学院机械工程系 三大基本方程 ? 根据静力学、几何学和物理学三方面条件,建立三套方程。 ? 平面问题中,根据微分体的平衡条件,建立平衡微分方程: ?? x ?? yx ? ? fx ? 0 ?x ?y ?? y ?y ? ?? xy ?x ? fy ? 0 (6) ? 根据微分线段上形变与位移之间的几何关系,建立几何方程: ?u ?u ?v ?u (7) ? x ? , ? y ? , ? xy ? ? ?x ?y ?x ?y 根据应力与形变之间的物理关系,建立物理方程: ? ?x ? 1 1 2(1 ? ? ) (? x ? ?? y ), ? y ? (? y ? ?? x ), ? xy ? ? xy E E E (8-1) 1? ? 2 ? 1? ? 2 ? 2(1 ? ? ) ?x ? (? x ? ? y ), ? y ? (? y ? ? x ), ? xy ? ? xy (8-2) E 1? ? E 1? ? E 2019/1/13 南京农业大学工学院机械工程系 有限单元法解题的一般步骤 1. ..... 2. ..... ? 物体结构的离散化 ? Lesson Objectives 3. ..... Procedure 将连续的结构离散成有限个单元,并在每一单元中设 定有限个节点,将连续体看作只在节点处相连接的一 组单元的集合体。 选定场函数的节点值作为基本未知量,并在每一单元 中假设一近似插值函数已表示单元中场函数的分布规 律。 ? 单元特性分析,选择位移模式 ? ? ? 单元组集,建立平衡方程 求解节点的位移 ? 利用力学中的某种变分原理去建立用以求未知量节点 的有限单元法方程。 ? 求解单元中的应力和应变 2019/1/13 南京农业大学工学院机械工程系 有限元单元法分析步骤(一) ? 结构离散化 ? 将结构分成有限个小的单元体,单元与单元、单元与边界之间通过 节点连接。结构的离散化是有限元法分析地第一步,关系到计算精度 和效率,包括以下三个方面: ? 单元类型的选择。选定单元类型,确定单元形状、单元节点数、 节点自由度数等。 ? 单元划分。网格划分越细,节点越多,计算结果越精确,但计算 量越大。网格加密到一定程度后计算精度提高就不明显,对应应 力变化平缓区域不必要细分网格。 ? 节点编码。 注意:有限元分析的结构已不是原有的物体或结构物,而是由 同样材料、众多单元以一定方式连接成的离散物体。所以,用 有限元分析计算所获得的结果是近似的。 2019/1/13 南京农业大学工学院机械工程系 有限元单元法分析步骤(二) ? 单元特性分析 ? 选择未知量模式 ? ? ? 选择节点位移作为基本未知量时,称为位移法,在有限元计 算中位移法应用较多; 选节点力作为基本未知量时,称为力法; 取一部分节点位移和一部分节点力作为未知量,称为混合法。 根据单元材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置等,找出 单元节点力和节点位移关系式,应用几何方程和物理方程建 立力和位移的方程式,从而导出单元刚度矩阵。 作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地 移到节点上去,即用等效力来替代所有作用在单元上的力。 南京农业大学工学院机械工程系 ? 分析单元力学性质 ? ? 计算等效节点力 ? 2019/1/13 选择位移模式 ? Definition 在有限元法中,虽然整个连续物体已经变化为离散化结构, 但是每个单元仍然作为一个连续的、均匀的,各向同性的 弹性体。对于每个单元,要计算内部的应变和应力,要求 得出该单元中的位移函数。因此可以对单元假定一个位移 插值函数,或称之为位移模式,得到用节点位移表示单元 体内任一点的唯一的关系式。 {d} ? [ N ]{? } ? e 有了位移模式,就可利用几何关系和应力-应变关系表出 用单元节点位移表示单元中应变和应力的表达式。 {? } ? [ B]{? }e {? } ? [ D]{? } ? [ D][ B]{? } 2019/1/13 e ?1 E ? D? ? 2 ? 1? ? ? ?0 ? 1 0 ? ? 0 ? (1 ? ? ) / 2 ? ? 0 南京农业大学工学院机械工程系 有限元单元法分析步骤(三) ? 整体分析 ? ? 集成整体节点载荷矢量 [ F ] 。结构离散化后,单元之间通过节点传递 力,作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移 到节点上去,形成等效节点载荷。将所有节点载荷按照整体节点编 码顺序组集成整体节点载荷矢量。 组成整体刚度矩阵 [ K ] ,得到总体平衡方程: [ K ][? ]=[ F ] ? 将线性代数方程组 [k ][? ] ? [ F ] ,引进边界约束条件,解总体平衡 方程可求得所有未知的结点位移。 通过上述分析可以看出有限单元法的基本思想是“一分一合”,分是为 了进行单元分析,合是为了对整体的结构进行综合分析。 2019/1/13 南京农业大学工学院机械工程系 计算单元中的应变和应力 ? 依据求得的结点位移,由 {? } ? [ B]{? }e {? } ? [ D]{? } ? [ D][ B]{? }e ? bi 1? [ B] ? ? 0 2? ? ci {? } ? ? ui e Lesson Objectives 0 ci bi vi bj 0 cj uj 0 cj bj vj bm 0 cm um 0? ? cm ? bm ? ? vm ? T ?1 E ? D? ? 2 ? 1? ? ? ?0 ? 1 0 ? ? 0 ? (1 ? ? ) / 2 ? ? 0 ? 可求得单元中任一点的应变和应力。 南京农业大学工学院机械工程系 2019/1/13 用有限元法解决工程问题的方式 ? 利用有限元基本理论及相关数学理论,自行编程实 现。 ? 特点:仅能解决某类特定问题,且编程繁琐,适用于求 解规模不大,或者某些专业性较强的问题。 ? 利用现有成熟的专用或通用有限元商业软件进行分 析计算。 ? 特点:能解决绝大多数工程问题,建模和计算效率较高, 但需要对软件进行深入的学习,了解各个功能参数的设 置。 2019/1/13 南京农业大学工学院机械工程系 平面有限元解法——编制计算机程序界面 2019/1/13 南京农业大学工学院机械工程系 平面有限元解法——计算机程序计算结果 2019/1/13 南京农业大学工学院机械工程系 通用有限元计算程序ANSYS计算结果 2019/1/13 南京农业大学工学院机械工程系 通用有限元计算程序ANSYS计算结果 2019/1/13 南京农业大学工学院机械工程系 有限元单元法基础理论(结构静力学问题) 矩阵分析法对杆系结构举例分析 ? 水平杆单元刚度矩阵 珩架 ? 水平杆单元 ? 杆单元两端各有一个水平节点位移 u i 和 u j ,两端节点力分 别为 Ui 和 U j 。 杆的受力情况分为两种情况考虑: ? ? ui ? ui , u j ? 0 ,此时j点被固定; ui ? 0, u j ? u j ,此时i点被固定。 2019/1/13 南京农业大学工学院机械工程系 有限元单元法基础理论(结构静力学问题) ? ui ? ui , u j ? 0 ,j 点被固定时; u ? 单元应变: ? ? ? i l Eui ? ? E? ? ? ? 单元应力: l i (材料力学中以拉应力为正,而有限元中,以向右的节点力为正) AE ? 单元左端节点力: U ? ? A? ? u ? l AE 单元右端节点力:U j ? A? ? ? ui l i ? ui ? 0, u j ? u j ,i点被固定时,与上状态相反,因此 AE ? 单元左端节点力: U i ? ? A? ? ? uj l AE U j ? A? ? uj ? 单元右端节点力: l 南京农业大学工学院机械工程系 2019/1/13 有限元单元法基础理论(结构静力学问题) ? 把以上两种结果叠加起来,得到左、右两端都有位移情况下单元节点 力: Ui ? AE AE ui ? uj l l Uj ? ? AE AE ui ? uj l l 写成矩阵形式: ? U i ? AE ?1 ?1? ? ui ? ? ui ? e ? ?? ? ??K ? ? ? ? l ? ?1 1? ? u j ? ?U j ? ?uj ? AE ?1 ?1? e K ? ? ? l ? ?1 1? 称为单元刚度矩阵。 ? 单元轴力可写为: ? ui ? ? ui ? AE N? ? ?1 1? ? u ? ? S ? u ? l ? j? ? j? AE S? ? ?1 1? 称为单元应力矩阵。 l 2019/1/13 南京农业大学工学院机械工程系 有限元单元法基础理论(结构静力学问题) ? 实际,节点i和j 除了水平位移外,还可以产生垂直位移(但 在小变形下,垂直节点位移对杆内力无影响)。引入垂直 节点位移 vi , v j ,和垂直节点力Vi ,V j ,单元刚度矩阵扩展为: ?Ui ? ?1 ? ? ? V AE i ? ?? ?0 ?U j ? l ? ?1 ? ? ? ?V ? ?0 ? j ? 0 ?1 0 ? ? ui ? ?? ? 0 0 0 ? ? vi ? 0 1 0??uj ? ? ?? ? 0 0 0??vj ? ? e e e 或 F ?K ? e ? Fe ? ? U V U V ? ?? i j j ? 节点力, ? i ?ui vi uj vj ? ? 节点位移 2019/1/13 ?1 ? 0 AE e ? K ? l ? ?1 ? ?0 0 ?1 0 0 0 1 0 0 南京农业大学工学院机械工程系 0? ? 0? 称为单元刚度矩阵。 0? ? 0? 有限元单元法基础理论(结构静力学问题) ? 倾斜单元刚度矩阵 局部坐标 x , y 与整体坐标x,y 之间的位移 ? 与 ? 之间存在如 下变换关系: ? ? ?? 式中,转换矩阵 ?? ? ?? ? ?? ? 0 ? ? 0 ? ? 0 0 0 0 ? ?? 0? ? 0? ?? ? ?? 为正交矩阵,其中 ? ? cos ? , ? ? sin ? 2019/1/13 南京农业大学工学院机械工程系 有限元单元法基础理论(结构静力学问题) ? ? ? 与整体坐标系中节点 局部坐标系中节点力 F ? ? ?U V U V ? T 力 F ?? 之间的关系为: ? U V U V i j j? ? i ? ?2 F ? ?F ?? ?? 2 ??? ? ? 2 2 ? 局部坐标系中节点力 ?? ? ? ?? ? ? AE e ? ? T i i j j F?K ? e e K ? 得出: F ? ? K ?? ? K ? 其反映单元节点位移与单元节点力关系,称为单元刚度方程。 ?1 e l ? ?? 2 ? ? ??? ? ??? ?? 2 ?2 ?? ?? ?2 ? ? ? ? 将上式记为 ? Fi ? ? ? K ii ? ? ? ? F j ? ? K ji 其中,i点 节点力 ? i ? ?ui K ij ? ? ? i ? ?? ? K jj ? ? ? j ? T Fi ? ?U i Vi ? ,j点 节点力 T Fj ? ? ?U j V j ? ? vj ? ? T T i点 节点位移 2019/1/13 vi ? ,j点 节点位移 ? j ? ? ?u j 南京农业大学工学院机械工程系 有限元单元法基础理论(结构静力学问题) ? 刚度系数Kij的意义是节点j的单位节点位移在节点i上产生的节点 力 2 AE ? ? ?? ? Kii ? K jj ? ? 2 ? l ? ?? ? ? Kij ? K ji ? ?Kii ? 节点平衡方程与整体刚度矩阵 从一个珩架中取一节点i,设环绕 该点有三个单元,即ij、im、ip。 该节点承受水平和垂直载荷分别 T 为Xi和Yi,即 Pi ? ? X i Yi ? 2019/1/13 南京农业大学工学院机械工程系 有限元单元法基础理论(结构静力学问题) ? 根据力的平衡原理,节点受力平衡方程为: X i ? U ij ? U im ? U ip ? 0 ? U ij ? 杆单元ij在节点i的节点力为: Fij ? ? ? ? K ii? i ? K ij? j ? Vij ? 其它单元施于结点i的节点力为: ? ? K ? ? ii ? ? i ? Kij? j ? Kim? m ? Kip? p ? Pi ? e ? 其它节点都有以上平衡方程,对于全部节点i=1,2,…,N的结 构,得到2N阶线性方程组 K? ? P ? Yi ? Vij ? Vim ? Vip ? 0 其中, ? ? ??1 , ? 2 ,..., ? N ? ,为全部节点位移组成的列阵; T ,为全部节点载荷组成的列阵; P ? ?P 1, P 2 ,..., P N? T K 2019/1/13 ,为整体刚度矩阵。 南京农业大学工学院机械工程系 有限元单元法基础理论(结构静力学问题) ? 总体刚度矩阵的合成 采用大域变换矩阵法把单元刚度矩阵合成结构整体刚度矩阵。 结构总体刚度矩阵[ K ]与单元刚度矩阵 [ K ]e之间的关系为 K ? ? (G e )T K eG e e G 为单元大域变换矩阵,对平面珩架结构,单元自由度m=4,节点自 其中, 由度h=2,整个结构有n个节点,则该单元大域变换矩阵为m×(hn)维。其 中ij单元假定为全局单元编号中第3个,其大域变换矩阵为 1 2 ... 2i ?1 2i ... 2 j ?1 2 j ... 2n e ?0 ? 0 3 ? G ? ?0 ? ?0 2019/1/13 0 0 0 0 ... ... ... ... 1 0 0 0 0 1 0 0 ... ... ... ... 0 0 1 0 0 0 0 1 ... ... ... ... 0? ? 0? 0? ? 0? 南京农业大学工学院机械工程系 有限元单元法基础理论(结构静力学问题) ? 总体结构的载荷矢量、位移矢量与单元载荷矢量、位移 矢量之间的关系为: P ? ? (G e )T Pe ? ? ? (Ge )T ? e e e ? 边界条件的处理 ? ? 边界条件指结构边界上所受到的外加约束。 边界上的节点通常有两种情况: ? ? 一种可以自由变形,如图中5、6、7、8;如果节点3作用外载荷Q,可 以令该点的载荷为Q; 另一种边界上的节点,已经规定了节点的位移数值。 如: u1 ? v1 ? v4 ? 0, v2 ? b 2019/1/13 南京农业大学工学院机械工程系 有限元单元法基础理论(结构静力学问题) ? 把结构平衡方程组重新排列,得到如下方程: ? K aa K ab ?? ? a ? ? Pa ? ? T ?? ? ? ? ? ? K ab Kbb ?? ? b ? ? Pb ? ?b 是已知节点位移, ? a 是未知节点位移; 式中, pb 是未知支点反力。 Pa 是已知节点载荷, 相应地, 只要已给出的位移 ?b 足以阻止结构的刚体移动,则子矩阵 K aa 将是非奇异的,可以解出未知的节点位移: ?1 ?a ? Kaa (P a ? Kab?b ) T ?1 T ?1 P ? ( K ? K K K ) ? ? K K 进而求出未知支点反力: b bb ab aa ab b ab aa P a 但在有限单元法中,未知量的个数通常有几百个,甚至几 十万个,一般利用计算机求解。 2019/1/13 南京农业大学工学院机械工程系 有限元单元法基础理论(结构动力学问题) ? 结构动力学问题有限元方法 ? 运动状态中各节点的动力平衡方程为: Fi ? Fd ? P(t ) ? Fe Fi , Fd , P(t ) 分别为惯性力、阻尼力和动力载荷, Fe 为弹性力。 式中, ? ? 弹性矢量可用节点位移? 和刚度矩阵 K 表示为:Fe ? K? 2 ? 根据达朗贝尔原理,可用质量矩阵M 和节点加速度 ? 表示惯性 2 ?t ? 2? 力如下: Fi ? ? M ? ?? 设结构具有粘滞阻尼,可用阻尼矩阵 C 和节点速度 表示阻尼 ?t ?? 力如下: F ? ?C d ? ?t 2 ?t 得到运动方程: 即 ? 2? ?? M 2 ?C ? K? ? P(t ) ?t ?t M? ? C? ? K? ? P(t ) 南京农业大学工学院机械工程系 2019/1/13 有限元单元法基础理论(结构动力学问题) ? 单自由度系统的阻尼 ? 单自由度系统的自由振动方程为: m? ? c? ? k? ? 0 m 质量; c 阻尼系数; k 为刚度系数;? 为位移。 式中, ? 两边除以m,得到: ? ? 2??? ? ? 2? ? 0 ? 为系统的自振 其中, ? ? k / m, ? ? c /(2m?), ? 称为阻尼比, 频率(角频率)。 ? 设初始条件为:当t=0时, ? ? ?0 , ? ? v0 , 符合这些初始条件的解为: ? ? v0 ? ??? 0 ? ? exp(???t ) ? ? 0 cos ?d t ? sin ?d t ? ?d ? ? ?d ? ? 1 ? ? 2 系统的自振频率为 ?d ,其振幅随着时间而逐渐衰减。 大多数结构的阻尼比都比较小,较多为 ? ? 0.01 ~ 0.2 ,阻尼对结 构自振频率的影响是很小的,通常取 ?d ? ? 。 2019/1/13 南京农业大学工学院机械工程系 有限元单元法基础理论(结构动力学问题) ? 结构自振频率与振型 ? 结构自由振动方程为: M ? ? C? ? K? ? 0 实际中,阻尼对结构自振频率和振型影响不大,因此可忽略阻尼力, 得到无阻尼自由振动方程: M ? ? K? ? 0 ? 设结构作简谐运动: ? ? ? cos ?t 代入上式得到方程:( K ? ? 2 M )? ? 0 在自由振动时,结构中各节点的振幅{? } 不全为零,所以结构自振 频率方程为: 2 K ?? M ? 0 上式是关于? 2 的n次代数方程,可求出结构的自振频率: 对于每个自振频率,可确定一组各节点的振幅值 ?i ? [?i1 , ?i 2 ,...?in ], 它们之间应保持固定的比值,但绝对值可以任意变化,它们构成一个 矢量,称为特征矢量,在工程上通常称为结构的振型。 2019/1/13 南京农业大学工学院机械工程系 ?1 ? ?2 ? ?3 ? ... ? ?n THE END 2019/1/13 南京农业大学工学院机械工程系

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